Szczególna teoria względności/Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona

Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się tutaj zajmowali macierzą bazy w starym i nowym układzie odniesienia w teorii transformacji Lorentza i Galileusza.

Teoria transformacji bazy w transformachach Lorentza

Będziemy tutaj badać transformacje Lorenza dla sygnatury dodatniej i ujemnej.

Sygnatura dodatnia

Napiszmy transformacje macierzy bazy z układu współrzędnych starego do nowego wiedząc, że zachodzi dla wersora czasowego ${\vec {e}}_{0}=\pm [1,0_{0n}]^{T}=[\xi =\pm 1,[0]_{0n}]^{T}\;$, którego długość musi być równa jeden z definicji tensora Minkowskiego (16.4), i biorąc bazę w nowym układzie odniesienia $[{\zeta ^{s}}_{k}{\vec {e}}_{s}]_{nn}=B_{p}\mathrm {Z} \;$, w którym będziemy oznaczać macierz przejścia przez $\mathrm {Z} =\left[{\zeta ^{s}}_{k}\right]\;$, oraz wiedząc, że macierz bazy w przestrzeni absolutnej przedstawia się jako:

$B={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}\;$

(17.1)

Z macierzą transformacji zdefiniowaną według (11.3) na podstawie (2.12) możemy napisać wzór w przestrzeni absolutnej, co z niego otrzymamy transformację macierzy bazy ze starego układu odniesienia do nowego:

$B_{n}^{'}X^{'}=BX\Rightarrow B_{n}^{'}MX=BX\Rightarrow B_{n}^{'}M=B\Rightarrow B_{n}^{'}=BM^{-1}\Rightarrow B_{n}^{'}=BM^{'}\;$

(17.2)

Na podstawie (17.1) widzimy, że istnieje dwa rodzaje baz $B\;$ ze względu na wersor czasowy, w których każdy ten rodzaj odpowiada nieskończeniu wiele takich baz $B\;$, przy ściśle określonym $B_{p}\;$, napisane według (17.1). Wykorzystując wzór (17.2) na transformacje bazy z jednego układu współrzędnych do drugiego i macierz bazy w starym układzie odniesienia (17.1), wtedy na podstawie tego możemy napisać:

$B_{n}^{'}=BM^{'}={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}M^{'}={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}ZM_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZM_{p}^{'}\end{bmatrix}}\;$

(17.3)

Na podstawie (17.3) przestrzeń (n-wymiarową przestrzeń bez wymiaru czasowego) w nowym układzie odniesienia nie znajduje się dokładnie w przestrzeni starego układu odniesienia. Ale mamy w nowym układzie odniesienia $B^{'}=[{\vec {e}}_{0},e_{1},..,{\vec {e}}_{n}]\;$, które niech będą współrzędnymi bazy w układzie absolutnym o wersorach ortonormalnych. Przetransformujmy bazę absolutną starą w nową w taki sposób by wybrać nową bazę absolutną o wersorach ortonormalnych, wtedy:

$B_{a}^{'}=B_{a}T^{-1}\Rightarrow I={B_{b}^{'}}^{T}B_{a}^{'}=T^{-T}{B_{a}}^{T}B_{a}T^{-1}=T^{-T}IT^{-1}=T^{-T}T^{-1}\Rightarrow T^{-T}T^{-1}=I\Rightarrow (TT^{T})^{-1}=I\Rightarrow TT^{T}=I\Rightarrow \;$
$\Rightarrow T^{T}=T^{-1}\Rightarrow T^{T}T=I\;$

(17.4)

Napiszmy transformację bazy współrzędnych absolutnych starych w nowe wykorzystując tożsamości (4.17) pisząc transformacje do bazy absolutnej podobnej do (17.1) w sposób:

$B^{'}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}=TB_{n}^{'}=TBM^{'}=T{\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow \underbrace {\begin{bmatrix}c_{00}&c_{0x}\\c_{x0}&C\end{bmatrix}} _{T^{-1}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}\xi ^{'}c_{00}&c_{0x}iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\\\xi ^{'}c_{x0}&CiB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZM_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow T^{-1}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}B_{p}^{'-T}Z^{'-T}Z^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}A^{'-1}Z^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow T^{-1}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}$

(17.5)

Napiszmy macierz na $T\;$ na podstawie macierzy $T^{-1}\;$ (17.5) zamieniając skalary i macierze w wierszach i kolumnach w nim bez primów na primy i odwrotnie, co dalej będziemy przekształcać tą macierz wykorzystując (7.17):

$T={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma &\xi ^{'}i\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\\-\xi ^{-1}i\gamma B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&B_{p}^{'}Z^{'}M_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-\xi ^{'}i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}\;$

(17.6)

bo zachodzi tożsamość na podstawie twierdzeń (3.11), (3.12) i (4.1):

$B'_{p}\mathrm {Z} ^{'}M_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}C_{p}(P_{||}\gamma +P_{\perp })\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}C_{p}(P_{||}\gamma +P_{\perp })C_{p}^{-1}C_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})C_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=\;$
$=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}Z^{'T}B^{'T}B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})C_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}B_{p}^{-T}\mathrm {Z} ^{-T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}A^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})C_{p}A^{-1}Z^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'T})A^{'}C_{p}A^{-1}Z^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'T})C_{p}^{-T}AA^{-1}Z^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'T})C_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})^{T}C_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}$

Teraz sprawdźmy, czy macierz $T\;$ (17.6) jest macierzą odwrotną do macierzy $T^{-1}\;$ (17.5) wykorzystując tożsamość (4.17), wtedy możemy napisać:

$T^{-1}T={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-\xi ^{'}i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}C_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}\\r_{10}&r_{11}\end{bmatrix}}=I\;$
A oto dowód:
$r_{00}={\gamma ^{'}}^{2}-{\gamma ^{'}}^{2}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=1\;$
$r_{01}=-\xi i{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}{\gamma ^{'}}^{2}{C_{p}^{'}}^{T}Z^{T}B_{p}^{T}+\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}M_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}=0\;$
$r_{10}=-\xi ^{-1}i{\gamma ^{'}}^{2}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}+\xi ^{-1}B_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}i\gamma B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=0\;$
$r_{11}=-\gamma ^{'}B_{p}ZC_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}\gamma ^{'}{C_{p}^{'}}^{T}Z^{T}B_{p}^{T}+B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=-\gamma ^{'}{{V^{'2}} \over {c^{2}}}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{P_{||}^{'+}}^{T}A^{'-1}P_{||}^{'+}\gamma ^{'}{C_{p}^{'}}^{T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}+B_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}A^{'-1}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=-\gamma ^{'}{{V^{'2}} \over {c^{2}}}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{P_{||}^{'+}}^{T}A^{'-1}P_{||}^{'+}\gamma ^{'}{C_{p}^{'}}^{T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}+B_{p}ZC_{p}^{'}\left(\gamma ^{'}P_{||}^{'+}+P_{\perp }^{+}\right)^{T}A^{'-1}\left(\gamma ^{'}P_{||}^{'+}+P_{\perp }^{'+}\right)C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=-\gamma ^{'2}{{V^{'2}} \over {c^{2}}}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{P_{||}^{'+}}^{T}A^{'-1}P_{||}^{'+}{C_{p}^{'}}^{T}Z^{T}B_{p}^{T}+\gamma ^{'2}B_{p}ZC_{p}^{'}{P_{||}^{'+}}^{T}A^{'-1}P_{||}^{'+}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}+B_{p}ZC_{p}^{'}{P_{\perp }^{'+}}^{T}A^{'-1}P_{\perp }^{'+}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}A^{'-1}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=B_{p}\mathrm {Z} A^{-1}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=B_{p}\mathrm {Z} \mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}B_{p}^{-T}\mathrm {Z} ^{-T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=I$

(17.7)

Stąd rzeczywiście macierz $T\;$ (17.6) jest macierzą odwrotną do macierzy $T^{-1}\;$ (17.5) na podstawie dowodu (17.7). Ale można zauważyć na podstawie (17.5) i (17.6), że zachodzi:

$T^{T}=T^{-1}\;$

(17.8)

co na tej podstawie dowiedliśmy, że zachodzi (17.4). Stąd udowodniliśmy, że twierdzenie (4.17) nie jest wcale sprzeczne ze stwierdzeniem według (17.4), $T^{-1}T=I\;$ (bo dowód (17.7)) i (17.8). Możemy również powiedzieć, że zachodzi:

$\eta ^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-A^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}=M^{'T}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}\mathrm {Z} \end{bmatrix}}^{T}T^{T}T{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}\mathrm {Z} \end{bmatrix}}M^{'}=\;$
$=M^{'T}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}\mathrm {Z} \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}\mathrm {Z} \end{bmatrix}}M^{'}=M^{'T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-A\end{bmatrix}}M^{'}=M^{'T}\eta M^{'}\Rightarrow \eta ^{'}=M^{'T}\eta M^{'}\;$

(17.9)

Stwierdzenie (17.9) jest prawdziwe na podstawie (16.9). Dla transformacji Galileusza bazy $B_{p}\;$ do $B_{p}^{'}\;$, które również przyjmujemy w szczególnej teorii względności, mamy $B_{p}^{'}Z^{'}=B_{p}ZC_{p}^{'}\Rightarrow B_{p}^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}=ZC_{p}^{'}\Rightarrow C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}=ZC_{p}^{'}\;$, gdzie $C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\;$ jest to macierz dla $Z=I\;$ i $Z^{'}=I\;$, co stąd $B_{p}^{'}Z^{'}=B_{p}ZC_{p}^{'}\Rightarrow B_{p}^{'}Z^{'}=B_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}\Rightarrow B_{p}^{'}=B_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\;$, co stąd na tej podstawie otrzymujemy transformacje na wzór $B_{p}^{'}\;$ (4.18), czyli wzór na transformacje Galileusza bazy z jednego układu odniesienia do drugiego dla bazy podstawowej $B_{p}\;$. Dla $V\ll c\;$ mamy macierz transformacji $T\;$ na podstawie wniosków:

$T={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&B_{p}^{'-T}Z^{'-T}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&B_{p}^{'-T}\mathrm {Z} ^{'-T}\mathrm {Z} ^{'T}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&B_{p}^{'-T}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&B_{p}^{'-T}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&B_{p}^{'-T}B_{p}^{'T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&I\end{bmatrix}}\;$

(17.10)

A także policzmy iloczyn macierzy $T\;$, $B\;$ i $M^{'}\;$, czyli:

$TBM^{'}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{-1}&0\\0&iB_{p}ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}\;$

(17.11)

Stąd na podstawie (17.5) mamy $iB_{p}^{'}Z^{'}=iB_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}\Rightarrow B_{p}^{'}=B_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\;$, czyli otrzymujemy taką samą transformację jak przy transformacji bazy Galileusza (4.18) jak powinno na pewno być. Napiszmy (17.5) wykorzystując własności macierzy:

${\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}M^{'}\Rightarrow \underbrace {{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&Z^{'}\end{bmatrix}}} _{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}=T\underbrace {{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&Z\end{bmatrix}}} _{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}M^{'}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&Z^{'}\end{bmatrix}}^{-1}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-ZM_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&ZM_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}\gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}A^{'}Z^{'-1}\\-ZM_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}\xi ^{'-1}&ZM_{p}^{'}Z^{'-1}\end{bmatrix}}$

(17.12)

Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy $B\;$ (17.1) dla $\xi =1\;$ i $Z=I\;$, czyli:

${{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}A^{'}Z^{'-1}={{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}Z^{'T}A_{Z^{'}=I}^{'}Z^{'}Z^{'-1}=\xi ^{'}{{{{\vec {V}}^{'T}}_{Z=I\xi =1}} \over {c}}A_{Z^{'}=I}^{'}=\xi ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi =1}^{'T}} \over {c}}A_{Z^{'}=I}^{'}\;$

(17.13)

$ZM_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=ZC_{p}^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }){{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}\left(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'}\right)Z^{'-1}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}\xi ^{'}=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\left(Z^{'}P_{||}^{'}Z^{'-1}\gamma ^{'}+Z^{'}P_{\perp }^{'}Z^{'-1}\right)\cdot \;$
$\cdot {{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}\xi ^{'}=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\xi ^{'}\left(P_{||Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}\right){{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}=\xi ^{'}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V^{'}}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}} \over {c}}=\xi ^{'}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V^{'}}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}} \over {c}}\;$

(17.14)

$ZM_{p}^{'}Z^{'-1}=ZC_{p}^{'}(P_{||}^{'}\gamma +P_{\perp }^{'})Z^{'-1}=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}(P_{||}^{'}\gamma +P_{\perp }^{'})Z^{'-1}=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\left(Z^{'}P_{||}^{'}Z^{'-1}\gamma ^{'}+Z^{'}P_{\perp }^{'}Z^{'-1}\right)=\;$
$=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}(P_{||Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'})=M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}$

(17.15)

Na podstawie obliczeń (17.13), (17.14) i (17.15) dla (17.12) dostajemy:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}\gamma ^{'}&-\xi \xi ^{'}\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}A_{Z^{'}=I}^{'}\\-M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}\;$

(17.16)

A teraz policzmy macierz transformacji $T\;$ (17.6), zatem:

$T={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-\xi ^{'}i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-i\xi ^{'2}\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}\xi ^{'}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}{{{\vec {V^{'}}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^{'}=I}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}\;$

(17.17)

a także policzmy dla $Z=I\;$, $Z^{'}=I\;$, $\xi =1\;$ i $\xi ^{'}=1\;$, co:

$T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}={\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\\i\gamma ^{'}B_{p}^{'}{{{\vec {V^{'}}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^{'}=I}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}\;$

(17.18)

A teraz policzmy (17.16) podstawiając za $T\;$ macierz (17.17), wiedząc, że zachodzi $\xi =\xi ^{-1}=\pm 1\;$ i $\xi ^{'}=\xi ^{'-1}=\pm 1\;$ z definicji wersora czasowego, bo jego długość ma być równa jeden, czyli:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}\xi ^{'}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}{{{\vec {V^{'}}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^{'}=I}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}\cdot \;$
$\cdot {\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}\gamma ^{'}&-\xi \xi ^{'}\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}A_{Z^{'}=I}^{'}\\-M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\\\xi ^{'}\xi ^{-1}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^{'}=I}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}\cdot \;$
$\cdot {\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}\gamma ^{'}&-\xi \xi ^{'}\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}A_{Z^{'}=I}^{'}\\-iB_{p}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&iB_{p}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}=T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}$

(17.19)

Równość (17.19) zachodzi na podstawie (17.12), bo to przejście da się tylko udowodnić przy założeniu, że jest spełniona zależność (4.18), co kończy dowód zależności $B_{p}^{'}=B_{p}C_{p}^{-1}\;$. Policzmy transformację macierzy $\eta _{Z=I}\;$ do $\eta _{\mathrm {Z} ^{'}=I}^{'}\;$, wiedząc, że ogólnie dla macierzy transformacji $T\;$ zachodzi związek (17.4):

$\eta _{Z^{'}=I}^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-A_{Z^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}^{T}T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{T}T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}\cdot \;$
$\cdot {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}=M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}=M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-A_{Z=I}\end{bmatrix}}\cdot \;$
$\cdot M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}=M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'T}\eta _{Z=I}M_{pZ=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}\Rightarrow \eta _{Z^{'}=I}^{'}=M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'T}\eta _{Z=I}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}\;$

(17.20)

Dla transformacji bazy $B\;$ (17.1) w inną bazę podobną do niego według (17.5) tensor metryczny transformuje się według (17.9), a w bazie $B\;$ (17.1) w podobną do niego w bazę dla $Z=I\;$, $Z^{'}=I\;$, $\xi =1\;$ i $\xi ^{'}=1\;$ tensor metryczny transformuje się według (17.20).

Sygnatura ujemna

Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci:

$B={\begin{bmatrix}i\xi &0\\0&B_{p}Z\end{bmatrix}}\;$

(17.21)

• Gdzie $\xi =\pm 1\;$ i $Z=1\;$ jest dowolne.

Transformacja z bazy (17.1) ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie przedstawienia transformacji przedstawia się według wzoru (17.5). Pomnóżmy macierz bazy $B\;$ starego i nowego układu odniesienia, tzn. (17.1) przez jednostkę urojoną $i\;$ we wzorze transformacyjnym tej bazy (17.5), znając macierz $M^{'}\;$ i $T^{'}\;$, które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz $T\;$, wtedy zastąpmy w naszym równaniu według $Z\rightarrow -Z\;$, a tam minus weźmy pod macierze $B_{p}\;$ i $B_{p}^{'}\;$, wtedy otrzymamy transformację bazy (17.21) o takiej samej macierzy $T\;$ jak dla sygnatury dodatniej, tzn. (17.6). Napiszmy transformację tensora metrycznego ze starego układu odniesienia do nowego przy dowolnym $Z\;$ i $Z^{'}\;$ i $\xi =\pm 1\;$, zatem:

$(\eta ^{'})={\begin{bmatrix}i\xi &0\\0&B_{p}Z\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}i\xi &0\\0&B_{p}Z\end{bmatrix}}={M^{'}}^{T}B^{T}T^{T}TBM^{'}={M^{'}}^{T}B^{T}BM^{'}={M^{'}}^{T}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&A\end{bmatrix}}{M^{'}}={M^{'}}^{T}(\eta )M^{'}\Rightarrow (\eta ^{'})={M^{'}}^{T}(\eta )M^{'}\;$

(17.22)

Weźmy $\xi =1\;$ i $Z=I\;$, wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest o postaci:

$B_{\xi =1,Z=I}={\begin{bmatrix}i&0\\0&B_{p}\end{bmatrix}}\;$

(17.23)

W takim razie transformacja bazy starego układu współrzędnych do nowego układu przedstawia się:

$B_{\xi ^{'}=1,Z^{'}=I}^{'}=T_{\xi =1,Z=1}B_{\xi =1,Z=I}M_{\xi =1,Z=1}^{'}\;$

(17.24)

Wtedy transformacja tensora metrycznego jest:

$(\eta ^{'})_{Z^{'}=I}={\begin{bmatrix}i&0\\0&B_{p}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}i&0\\0&B_{p}\end{bmatrix}}=\;$
$\Rightarrow {M^{'}}_{\xi ,Z=1}^{T}B_{\xi =1,Z=I}^{T}T_{\xi =1,Z=1}^{T}T_{\xi =1,Z=1}B_{\xi =1,Z=I}M_{\xi =1,Z=1}^{'}={M^{'}}_{\xi =1,Z=1}^{T}B_{\xi =1,Z=I}^{T}B_{\xi =1,Z=I}M_{\xi =1,Z=1}^{'}=\;$
$={M^{'}}_{\xi =1,Z=1}^{T}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&A_{Z=1,\xi =1}\end{bmatrix}}{M^{'}}_{\xi =1,Z=1}={M^{'}}_{\xi =1,Z=1}^{T}(\eta )_{Z=I}M_{\xi =1,Z=1}^{'}\Rightarrow (\eta ^{'})_{Z^{'}=I}={M^{'}}_{\xi =1,Z=1}^{T}(\eta )_{Z=I}M_{\xi =1,Z=1}^{'}\;$

(17.25)

Czyli w (17.25) udowodniliśmy transformację tensora metrycznego Minkowskiego w sygnaturze ujemnej.

Teoria bazy transformacji Galileusza

Będziemy tutaj badać transformacje Galileusza dla sygnatury dodatniej i ujemnej.

Sygnatura dodatnia

Weźmy sobie bazę taką samą jak w szczególnej teorii względności (17.1), wtedy jest spełnione (17.2). Weźmy Galileuszowską macierz transformacji $M^{'}\;$ (11.17), wtedy możemy zapisać:

$B_{n}^{'}=BM^{'}={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi &0\\-iB_{p}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}\;$

(17.26)

Weźmy inną bazę absolutną, której współrzędne przetransformujemy macierzą $T\;$, wtedy możemy powiedzieć:

$B^{'}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}=TB_{n}^{'}=TBM^{'}=T{\begin{bmatrix}\xi &0\\-iB_{p}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}c_{00}&c_{0x}\\c_{x0}&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\xi &0\\-iB_{p}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}\xi ^{'}c_{00}&c_{0x}iB_{p}^{'}Z^{'}\\\xi ^{'}c_{x0}&iCB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi &0\\-iB_{p}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}$

(17.27)

Wtedy macierz bazy $T^{-1}\;$ na podstawie obliczeń macierzowych (17.27) piszemy wynikającą z tego na podstawie tożsamości transformacji bazy przestrzennej (4.18):

$T^{-1}={\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\-i\xi ^{'-1}B_{p}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&B_{p}ZC_{p}^{'}Z^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\i\xi ^{'-1}B_{p}Z{{\vec {V}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}\;$

(17.28)

Na podstawie analogii do macierzy $T^{-1}\;$ napiszmy macierz odwrotną do niego $T\;$ zastępując wielkości primowane wielkościami bez primów i odwrotnie, dostajemy wzór na macierz $T\;$:

$T={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}$

(17.29)

Policzmy czy rzeczywiście macierz $T\;$ (17.29) jest macierzą odwrotną do macierzy $T^{-1}\;$ (17.28), tzn. czy właściwie obraliśmy tą macierz, wykorzystajmy wtedy wzór na transformacje bazy przestrzennej Galileusza (4.18):

$TT^{-1}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\i\xi ^{'-1}B_{p}Z{{\vec {V}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\i\xi ^{'-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}+i\xi ^{'-1}B_{p}ZZ^{-1}B_{p}^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}}=I\Rightarrow \;$
$\Rightarrow TT^{-1}=I\;$

(17.30)

Zatem macierz $T\;$ jest macierzą odwrotną do macierzy $T^{-1}\;$ jak przypuszczaliśmy. Napiszmy jaki wyjdzie wynik z wyrażenia macierzowego dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, zakładając, że $\xi =\pm 1\;$ i $\xi ^{'}=\pm 1\;$, wtedy:

$TT^{T}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&i\xi ^{-1}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}Z^{'T}B_{p}^{'T}\\0&I\end{bmatrix}}\simeq {\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}}=I$

(17.31)

Dla teorii transformacji Galileusza iloczyn macierzy $T\;$ (17.29) przez jego macierz transponowaną daje nam macierz w przybliżeniu jedynkową, czyli baza absolutna w nowym i starym układzie odniesienia jest w przybliżeniu ogólnie ortonormalna. Napiszmy tożsamość macierzową, którą przepiszemy jako transformację bazy $n+1\;$ wymiarowej ze starego układu współrzędnych do nowego, to wtedy tożsamość:

${\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&Z^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}\cdot \;$
$\cdot {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}\cdot \;$
$\cdot {\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\-ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\-\xi ^{'-1}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&ZC_{p}^{'}Z^{'-1}\end{bmatrix}}$

(17.32)

Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy $B\;$ (17.1) dla $\xi =1\;$ i $Z=I\;$ wykorzystując $C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}=ZC_{p}^{'}\;$ wynikającego z $B_{p}^{'}=B_{p}C_{p}^{'}\;$ wyprowadzona w poprzednim rozdziale, czyli:

$ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=\xi ^{'}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z=I\xi =1}^{'}} \over {c}}$

(17.33)

$ZC_{p}^{'}Z^{'-1}=C_{pZ=1Z^{'}=I}Z^{'}Z^{'-1}=C_{pZ=IZ^{'}=I}$

(17.34)

$B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=\xi ^{'}B_{p}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}\;$

(17.35)

Macierz $T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}\;$ przedstawia się:

$T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}={\begin{bmatrix}1&0\\iB_{p}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}\;$

(17.36)

Dokończy obliczenia z punktu (17.32) wyznaczając wzór na transformacje bazy z bazy w starym układzie współrzędnych dla $Z=1\;$ i $\xi =1\;$ na bazę w nowym układzie współrzędnych dla $Z^{'}=I\;$ i $\xi ^{'}=1\;$, zatem:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{'}\xi ^{-1}B_{p}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\-C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z=I\xi =1}^{'}} \over {c}}&C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow$
$\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{'}\xi ^{-1}B_{p}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\-iB_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z=I\xi =1}^{'}} \over {c}}&iB_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}$

(17.37)

Transformacja bazy $n+1\;$ wielowymiarowej w teorii transformacji Galileusza, czyli dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, przedstawia się w formie (17.37) i ona jest podobna bardzo do wzoru (17.27), tylko tutaj dokładnie nie da się wyznaczyć transformacji tensora metrycznego (16.4), jak w punkcie (17.20), opisująca przestrzenie $n+1\;$ wymiarowe.

Sygnatura ujemna

Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci (17.21) w transformacji Galileusza, w którym $\xi \;$ i $Z\;$ są dowolne. Transformacja z bazy (17.1) ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie transformacji przedstawia się według wzoru (17.27). Pomnóżmy macierz bazy $B\;$ starego i nowego układu odniesienia, tzn. (17.1) przez jednostkę urojoną $i\;$ we wzorze transformacyjnym tej bazy (17.27) znając macierz $M^{'}\;$ i $T^{'}\;$, które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz $T\;$, wtedy zastąpmy w naszym równaniu według $Z\rightarrow -Z\;$, a tam minus weźmy pod macierze $B_{p}\;$ i $B_{p}^{'}\;$, wtedy otrzymamy transformację bazy (17.21) o takiej samej macierzy $T\;$, jak dla sygnatury dodatniej, tzn. (17.29). Weźmy $\xi =1\;$ i $Z=I\;$, wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest napisana formułą (17.23). W takim razie transformacja jest dla bazy starego i nowego układu odniesienia napisana dla tego przypadku wzorem (17.24).

Dlaczego czas nie może płynąć do tyłu

Według tego modułu, gdy $\xi =1\;$, to czas płynie do przodu, a gdy $\xi =-1\;$, to czas płynie do tyłu, lub odwrotnie, w szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona, na podstawie przedstawienia ogólnej bazy czasoprzestrzennej (17.1), to świat według tych dwóch przypadków wygląda tak samo, jak by czas płynął tylko w jednym kierunku, bo przypadek $\xi =-1\;$ można przetransformować na $\xi =1\;$, lub odwrotnie. Stąd wniosek, rzucona filiżanka od kawy, która się potłukła, to taki proces nie może zajść w kierunku odwrotnym, czyli ona nie może się złożyć, a więc czas płynie tylko w jednym kierunku, w kierunku dodatnich czasów, gdy założymy, że zachodzi $\xi =1\;$, lub w kierunku ujemnych czasów, gdy mamy $\xi =-1\;$.