Szczególna teoria względności/Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona

Baza odniesienia w mechanice Einsteina i Newtona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się tutaj zajmowali macierzą bazy w starym i nowym układzie odniesienia w teorii transformacji Lorentza i Galileusza.

Teoria transformacji bazy w transformachach Lorentza

Będziemy tutaj badać transformacje Lorenza dla sygnatury dodatniej i ujemnej.

Sygnatura dodatnia

Napiszmy transformacje macierzy bazy z układu współrzędnych starego do nowego wiedząc, że zachodzi dla wersora czasowego ${\vec {e}}_{0}=\pm [1,0_{0n}]^{T}=[\xi =\pm 1,[0]_{0n}]^{T}\;$, którego długość musi być równa jeden z definicji tensora Minkowskiego (16.4), i biorąc bazę w nowym układzie odniesienia $[{\zeta ^{s}}_{k}{\vec {e}}_{s}]_{nn}=B_{p}\mathrm {Z} \;$, w którym będziemy oznaczać macierz przejścia przez $\mathrm {Z} =\left[{\zeta ^{s}}_{k}\right]\;$, oraz wiedząc, że macierz bazy w przestrzeni absolutnej przedstawia się jako:

$B={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}\;$

(17.1)

Z macierzą transformacji zdefiniowaną według (11.3) na podstawie (2.12) możemy napisać wzór w przestrzeni absolutnej, co z niego otrzymamy transformację macierzy bazy ze starego układu odniesienia do nowego:

$B_{n}^{'}X^{'}=BX\Rightarrow B_{n}^{'}MX=BX\Rightarrow B_{n}^{'}M=B\Rightarrow B_{n}^{'}=BM^{-1}\Rightarrow B_{n}^{'}=BM^{'}\;$

(17.2)

Na podstawie (17.1) widzimy, że istnieje dwa rodzaje baz $B\;$ ze względu na wersor czasowy, w których każdy ten rodzaj odpowiada nieskończeniu wiele takich baz $B\;$, przy ściśle określonym $B_{p}\;$, napisane według (17.1). Wykorzystując wzór (17.2) na transformacje bazy z jednego układu współrzędnych do drugiego i macierz bazy w starym układzie odniesienia (17.1), wtedy na podstawie tego możemy napisać:

$B_{n}^{'}=BM^{'}={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}M^{'}={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}ZM_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZM_{p}^{'}\end{bmatrix}}\;$

(17.3)

Na podstawie (17.3) przestrzeń (n-wymiarową przestrzeń bez wymiaru czasowego) w nowym układzie odniesienia nie znajduje się dokładnie w przestrzeni starego układu odniesienia. Ale mamy w nowym układzie odniesienia $B^{'}=[{\vec {e}}_{0},e_{1},..,{\vec {e}}_{n}]\;$, które niech będą współrzędnymi bazy w układzie absolutnym o wersorach ortonormalnych. Przetransformujmy bazę absolutną starą w nową w taki sposób by wybrać nową bazę absolutną o wersorach ortonormalnych, wtedy:

$B_{a}^{'}=B_{a}T^{-1}\Rightarrow I={B_{b}^{'}}^{T}B_{a}^{'}=T^{-T}{B_{a}}^{T}B_{a}T^{-1}=T^{-T}IT^{-1}=T^{-T}T^{-1}\Rightarrow T^{-T}T^{-1}=I\Rightarrow (TT^{T})^{-1}=I\Rightarrow TT^{T}=I\Rightarrow \;$
$\Rightarrow T^{T}=T^{-1}\Rightarrow T^{T}T=I\;$

(17.4)

Napiszmy transformację bazy współrzędnych absolutnych starych w nowe wykorzystując tożsamości (4.17) pisząc transformacje do bazy absolutnej podobnej do (17.1) w sposób:

$B^{'}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}=TB_{n}^{'}=TBM^{'}=T{\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow \underbrace {\begin{bmatrix}c_{00}&c_{0x}\\c_{x0}&C\end{bmatrix}} _{T^{-1}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}\xi ^{'}c_{00}&c_{0x}iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\\\xi ^{'}c_{x0}&CiB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZM_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow T^{-1}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}B_{p}^{'-T}Z^{'-T}Z^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}A^{'-1}Z^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow T^{-1}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}$

(17.5)

Napiszmy macierz na $T\;$ na podstawie macierzy $T^{-1}\;$ (17.5) zamieniając skalary i macierze w wierszach i kolumnach w nim bez primów na primy i odwrotnie, co dalej będziemy przekształcać tą macierz wykorzystując (7.17):

$T={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma &\xi ^{'}i\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\\-\xi ^{-1}i\gamma B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&B_{p}^{'}Z^{'}M_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-\xi ^{'}i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}\;$

(17.6)

bo zachodzi tożsamość na podstawie twierdzeń (3.11), (3.12) i (4.1):

$B'_{p}\mathrm {Z} ^{'}M_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}C_{p}(P_{||}\gamma +P_{\perp })\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}C_{p}(P_{||}\gamma +P_{\perp })C_{p}^{-1}C_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})C_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=\;$
$=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}Z^{'T}B^{'T}B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})C_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}B_{p}^{-T}\mathrm {Z} ^{-T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}A^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})C_{p}A^{-1}Z^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'T})A^{'}C_{p}A^{-1}Z^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'T})C_{p}^{-T}AA^{-1}Z^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'T})C_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})^{T}C_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}$

Teraz sprawdźmy, czy macierz $T\;$ (17.6) jest macierzą odwrotną do macierzy $T^{-1}\;$ (17.5) wykorzystując tożsamość (4.17), wtedy możemy napisać:

$T^{-1}T={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-\xi ^{'}i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}C_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}\\r_{10}&r_{11}\end{bmatrix}}=I\;$
A oto dowód:
$r_{00}={\gamma ^{'}}^{2}-{\gamma ^{'}}^{2}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=1\;$
$r_{01}=-\xi i{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}{\gamma ^{'}}^{2}{C_{p}^{'}}^{T}Z^{T}B_{p}^{T}+\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}M_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}=0\;$
$r_{10}=-\xi ^{-1}i{\gamma ^{'}}^{2}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}+\xi ^{-1}B_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}i\gamma B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=0\;$
$r_{11}=-\gamma ^{'}B_{p}ZC_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}\gamma ^{'}{C_{p}^{'}}^{T}Z^{T}B_{p}^{T}+B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=-\gamma ^{'}{{V^{'2}} \over {c^{2}}}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{P_{||}^{'+}}^{T}A^{'-1}P_{||}^{'+}\gamma ^{'}{C_{p}^{'}}^{T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}+B_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}A^{'-1}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=-\gamma ^{'}{{V^{'2}} \over {c^{2}}}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{P_{||}^{'+}}^{T}A^{'-1}P_{||}^{'+}\gamma ^{'}{C_{p}^{'}}^{T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}+B_{p}ZC_{p}^{'}\left(\gamma ^{'}P_{||}^{'+}+P_{\perp }^{+}\right)^{T}A^{'-1}\left(\gamma ^{'}P_{||}^{'+}+P_{\perp }^{'+}\right)C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=-\gamma ^{'2}{{V^{'2}} \over {c^{2}}}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{P_{||}^{'+}}^{T}A^{'-1}P_{||}^{'+}{C_{p}^{'}}^{T}Z^{T}B_{p}^{T}+\gamma ^{'2}B_{p}ZC_{p}^{'}{P_{||}^{'+}}^{T}A^{'-1}P_{||}^{'+}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}+B_{p}ZC_{p}^{'}{P_{\perp }^{'+}}^{T}A^{'-1}P_{\perp }^{'+}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=\;$
$=B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}A^{'-1}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=B_{p}\mathrm {Z} A^{-1}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=B_{p}\mathrm {Z} \mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}B_{p}^{-T}\mathrm {Z} ^{-T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=I$

(17.7)

Stąd rzeczywiście macierz $T\;$ (17.6) jest macierzą odwrotną do macierzy $T^{-1}\;$ (17.5) na podstawie dowodu (17.7). Ale można zauważyć na podstawie (17.5) i (17.6), że zachodzi:

$T^{T}=T^{-1}\;$

(17.8)

co na tej podstawie dowiedliśmy, że zachodzi (17.4). Stąd udowodniliśmy, że twierdzenie (4.17) nie jest wcale sprzeczne ze stwierdzeniem według (17.4), $T^{-1}T=I\;$ (bo dowód (17.7)) i . Możemy również powiedzieć, że zachodzi: Stwierdzenie jest prawdziwe na podstawie . Dla transformacji Galileusza bazy do , które również przyjmujemy w szczególnej teorii względności, mamy , gdzie jest to macierz dla i , co stąd , co stąd na tej podstawie otrzymujemy transformacje na wzór , czyli wzór na transformacje Galileusza bazy z jednego układu odniesienia do drugiego dla bazy podstawowej . Dla mamy macierz transformacji na podstawie wniosków: A także policzmy iloczyn macierzy , i , czyli: Stąd na podstawie mamy , czyli otrzymujemy taką samą transformację jak przy transformacji bazy Galileusza jak powinno na pewno być. Napiszmy wykorzystując własności macierzy: Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy dla i , czyli: Na podstawie obliczeń , i dla dostajemy: A teraz policzmy macierz transformacji , zatem: a także policzmy dla , , i , co: A teraz policzmy podstawiając za macierz , wiedząc, że zachodzi i z definicji wersora czasowego, bo jego długość ma być równa jeden, czyli: Równość zachodzi na podstawie , bo to przejście da się tylko udowodnić przy założeniu, że jest spełniona zależność , co kończy dowód zależności . Policzmy transformację macierzy do , wiedząc, że ogólnie dla macierzy transformacji zachodzi związek : Dla transformacji bazy w inną bazę podobną do niego według tensor metryczny transformuje się według , a w bazie w podobną do niego w bazę dla , , i tensor metryczny transformuje się według .

Sygnatura ujemna

Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci:

• Gdzie i jest dowolne.

Transformacja z bazy ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie przedstawienia transformacji przedstawia się według wzoru . Pomnóżmy macierz bazy starego i nowego układu odniesienia, tzn. przez jednostkę urojoną we wzorze transformacyjnym tej bazy , znając macierz i , które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz , wtedy zastąpmy w naszym równaniu według , a tam minus weźmy pod macierze i , wtedy otrzymamy transformację bazy o takiej samej macierzy jak dla sygnatury dodatniej, tzn. . Napiszmy transformację tensora metrycznego ze starego układu odniesienia do nowego przy dowolnym i i , zatem: Weźmy i , wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest o postaci: W takim razie transformacja bazy starego układu współrzędnych do nowego układu przedstawia się: Wtedy transformacja tensora metrycznego jest: Czyli w udowodniliśmy transformację tensora metrycznego Minkowskiego w sygnaturze ujemnej.

Teoria bazy transformacji Galileusza

Będziemy tutaj badać transformacje Galileusza dla sygnatury dodatniej i ujemnej.

Sygnatura dodatnia

Weźmy sobie bazę taką samą jak w szczególnej teorii względności , wtedy jest spełnione . Weźmy Galileuszowską macierz transformacji , wtedy możemy zapisać: Weźmy inną bazę absolutną, której współrzędne przetransformujemy macierzą , wtedy możemy powiedzieć: Wtedy macierz bazy na podstawie obliczeń macierzowych piszemy wynikającą z tego na podstawie tożsamości transformacji bazy przestrzennej : Na podstawie analogii do macierzy napiszmy macierz odwrotną do niego zastępując wielkości primowane wielkościami bez primów i odwrotnie, dostajemy wzór na macierz : Policzmy czy rzeczywiście macierz $T\;$ jest macierzą odwrotną do macierzy , tzn. czy właściwie obraliśmy tą macierz, wykorzystajmy wtedy wzór na transformacje bazy przestrzennej Galileusza : Zatem macierz jest macierzą odwrotną do macierzy jak przypuszczaliśmy. Napiszmy jaki wyjdzie wynik z wyrażenia macierzowego dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, zakładając, że i , wtedy: Dla teorii transformacji Galileusza iloczyn macierzy przez jego macierz transponowaną daje nam macierz w przybliżeniu jedynkową, czyli baza absolutna w nowym i starym układzie odniesienia jest w przybliżeniu ogólnie ortonormalna. Napiszmy tożsamość macierzową, którą przepiszemy jako transformację bazy wymiarowej ze starego układu współrzędnych do nowego, to wtedy tożsamość: Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy dla i wykorzystując wynikającego z wyprowadzona w poprzednim rozdziale, czyli:

Macierz przedstawia się: Dokończy obliczenia z punktu wyznaczając wzór na transformacje bazy z bazy w starym układzie współrzędnych dla i na bazę w nowym układzie współrzędnych dla i , zatem: Transformacja bazy wielowymiarowej w teorii transformacji Galileusza, czyli dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, przedstawia się w formie i ona jest podobna bardzo do wzoru , tylko tutaj dokładnie nie da się wyznaczyć transformacji tensora metrycznego , jak w punkcie , opisująca przestrzenie wymiarowe.

Sygnatura ujemna

Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci w transformacji Galileusza, w którym i są dowolne. Transformacja z bazy ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie transformacji przedstawia się według wzoru . Pomnóżmy macierz bazy starego i nowego układu odniesienia, tzn. przez jednostkę urojoną we wzorze transformacyjnym tej bazy znając macierz i , które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz , wtedy zastąpmy w naszym równaniu według , a tam minus weźmy pod macierze i , wtedy otrzymamy transformację bazy o takiej samej macierzy , jak dla sygnatury dodatniej, tzn. . Weźmy i , wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest napisana formułą . W takim razie transformacja jest dla bazy starego i nowego układu odniesienia napisana dla tego przypadku wzorem .

Dlaczego czas nie może płynąć do tyłu

Według tego modułu, gdy , to czas płynie do przodu, a gdy , to czas płynie do tyłu, lub odwrotnie, w szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona, na podstawie przedstawienia ogólnej bazy czasoprzestrzennej , to świat według tych dwóch przypadków wygląda tak samo, jak by czas płynął tylko w jednym kierunku, bo przypadek można przetransformować na , lub odwrotnie. Stąd wniosek, rzucona filiżanka od kawy, która się potłukła, to taki proces nie może zajść w kierunku odwrotnym, czyli ona nie może się złożyć, a więc czas płynie tylko w jednym kierunku, w kierunku dodatnich czasów, gdy założymy, że zachodzi , lub w kierunku ujemnych czasów, gdy mamy .