Szczególna teoria względności/Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - mechanika Newtona

Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - mechanika Newtona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Mechanika Newtona (nierelatywistyczna) dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj rozpatrywali mechanikę Newtona w układach globalnie (lokalnie) płaskich, w nich prawa rządzące ruchem, a także uogólnimy pewne wielkości tej teorii dla układów słabozakrzywionych, gdzie tam wielkości zachodzą tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, a dla układów globalnie (lokalnie) płaskich zachodzą one dokładnie, co są z jednych argumentów, że układy globalnie płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie.

Przyśpieszenie jest skutkiem zakrzywienia przestrzeni Galileusza w układach punktowych (rozciągłych), a ruch w układach globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj rozważali, że jednak przyśpieszenie ciała punktowego (cząstki punktowej w układzie rozciągłym) jest jednak skutkiem zakrzywienia przestrzeni Galileusza w mechanice Newtona.

Układy punktowe i rozciągłe w układach spełniające mechanikę Newtona

Będziemy tutaj rozpatrywali układy punktowe w układach spełniające lagrangian dla układów punktowych (28.4) i gęstość lagrangianu dla układów rozciągłych (28.20). Będziemy tutaj opisywali te układu przy tensorze metrycznym $(g)=A\;$ dla układów ogólnie nieprostokątnych, ale nie we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych).

Układy punktowe

Weźmy ciało punktowe dla którego lagrangian jest przedstawiony w punkcie (28.4), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś jedynek, w postaci:

$L={{m_{0}v^{2}} \over {2}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})={{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(31.1)

Wstawmy jedynkę do równania (31.1) w postaci definicji różniczki długości (30.2), wtedy lagrangian jest równy matematycznie (31.1) i on przyjmuje równoważną formę:

$L={{m_{0}v^{2}} \over {2}}U^{i}g_{ij}{U}^{j}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(31.2)

Napiszmy równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (31.1) i (31.2), dla obu lagrangianów równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, przedstawia się w formie (29.8). Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (31.2) względem tensora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (29.8), co:

${{\partial L} \over {\partial x^{i}}}={{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\;$

(31.3)

Policzmy pochodną lagrangianu (31.2) względem wektora prędkości względem interwału długości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (29.8), wtedy:

${{\partial L} \over {\partial {U}^{i}}}={{\partial } \over {\partial {U}^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)+m_{0}v^{2}{U}^{j}g_{ij}\;$

(31.4)

Zbierzmy nasze wyniki badać (31.4) i (31.3) do równości (29.8) (te obliczenia są dla lagrangianu (31.2), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (29.8)), wtedy:

${{d} \over {dl}}\left(m_{0}v^{2}{U}^{j}g_{ij}\right)+{{d} \over {dl}}{{\partial } \over {\partial {U}^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(31.5)

Dla Lagrangianu (31.1) równanie Eulera-Lagrange'a (29.8), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (31.5) wynikająca z (31.2), jest w postaci:

${{d} \over {dl}}{{\partial } \over {\partial {U}^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left({{m_{0}v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(31.6)

Wykorzystując równość (31.6) do (31.5) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:

${{d} \over {dl}}\left(m_{0}v^{2}{U}^{j}g_{ij}\right)=0\Rightarrow m_{0}v^{2}{U}_{i}=\operatorname {const} \wedge m_{0}v^{2}{U}^{j}=\operatorname {const} \Rightarrow m_{0}^{2}v^{4}{U}_{i}{U}^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow m_{0}^{2}v^{4}=\operatorname {const} \Rightarrow v=\operatorname {const}$

(31.7)

A jeżeli wartość prędkości jest stała na podstawie końcowego wniosku (31.7) (ostatnia równość), wtedy według drugiego wyrazu (po wynikaniu) w (31.7), a w nim drugi element koniunkcji, co na tej podstawie dostajemy:

${U}^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow vU^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow v^{i}=\operatorname {const} \;$

(31.8)

Co (31.8) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli langrangiany (31.1) i (31.2) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale $(t,t+dt)\;$ prędkość jest lokalnie stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.

Układy rozciągłe

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (28.1) dla ciał punktowych przejdźmy do ośrodków rozciągłych wykorzystując wykorzystując, że na nieskończenie małym odcinku toru (definicja pochodnej prędkości) cząstka porusza się z prędkością ${\vec {v}}\;$, wtedy:

$S=\int dLcdt=\int \left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}-A^{\mu }J_{\mu }\right)dVcdt=\int \left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)dVcdt\Rightarrow S=\int {\mathcal {L}}dVcdt=\int {\sqrt {g}}{\mathcal {L}}d^{n}x^{'}cdt\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\mathcal {L}}=\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(31.9)

• gdzie:

$n\;$ - jest to wymiar przestrzeni zwykłej,

$g\;$ - to jest wyznacznik tensora metrycznego podwójnie kowariantnego $(g)=A\;$.

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji różniczki długości (30.2), wtedy równość (31.9) po rozpisaniu jedynki:

${\mathcal {L}}=\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}U^{i}g_{ij}U^{j}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\;$

(31.10)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (31.9), przedstawia się w formie (29.14). Policzmy najpierw drugi wyraz w (29.14) wykorzystując (31.10), zatem:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{i}}}={{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)$

(31.11)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (29.15) wykorzystując (31.10):

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {U}^{i}}}=\rho _{0}v^{2}g_{ij}{U}^{j}+{{\partial } \over {\partial {U}^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)$

(31.12)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (31.11) i (31.12), co podstawmy je do równania (29.14):

${{d} \over {dl}}\left[\rho _{0}v^{2}g_{ij}{U}^{j}+{{\partial } \over {\partial {U}^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {dl}}\left(\rho _{0}v^{2}g_{ij}{U}^{j}\right)+{{d} \over {dl}}\left[{{\partial } \over {\partial {U}^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(31.13)

Wykorzystajmy wzór (31.9) i podstawmy go do wzoru (29.8) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

${{d} \over {dl}}\left[{{\partial } \over {\partial {U}^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0}{{v^{2}} \over {2}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(31.14)

Wykorzystajmy równość (31.14) do równości otrzymanej (31.13), co:

${{d} \over {dl}}\left(\rho _{0}v^{2}g_{ij}{U}^{j}\right)=0\Rightarrow {{d} \over {dl}}\left(\rho _{0}v^{2}{U}_{i}\right)=0\Rightarrow \rho _{0}{{dv^{2}{U}_{i}} \over {dl}}+v^{2}{U}_{i}{{d\rho _{0}} \over {dl}}=0\;$

(31.15)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego, mamy:

${{d} \over {dl}}\rho _{0}={{\partial \rho _{0}} \over {\partial {q}^{\alpha }}}{{{dq}^{\alpha }} \over {dl}}+{{\partial \rho _{0}} \over {\partial {{{dq}^{\alpha }} \over {dl}}}}{{d{{{dq}^{\alpha }} \over {dl}}} \over {dl}}=0\;$

(31.16)

Wniosek (31.16) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale $\rho _{0}\;$, której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach $(t,t+dt)\;$ w przestrzeni Galileusza, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych według wspomnianej tożsamości, weźmy ten układ, w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: ${\dot {q}}^{i}=0\;$, ${\dot {q}}^{0}=1$ i z wniosków w niej mamy: ${\ddot {q}}^{\alpha }=0\;$, ale też wiadomo też tam ${{\partial \rho _{0}} \over {\partial {q}^{0}}}=0\;$ (z (26.4) dla $\phi _{0}=\rho _{m0}\;$ i $q^{0}=x^{0}=ct\;$), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (31.16) z niezmienniczości czasu $t\;$ i gęstości masy spoczynkowej. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego $dx^{\mu }\;$, wtedy na podstawie (31.16):

$0=d\rho _{0}={{\partial \rho _{0}(x^{\mu })} \over {\partial x^{\alpha }}}dx^{\mu }\Rightarrow {{\partial \rho _{0}} \over {\partial x^{\alpha }}}=0\;$

(31.17)

Na podstawie (31.16) i (31.15), mamy:

$\rho _{0}{{dv^{2}{U}_{i}} \over {dl}}=0\Rightarrow v^{2}U_{i}=\operatorname {const} \wedge v^{2}{U}^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow v^{4}U^{i}U_{i}=\operatorname {const} \Rightarrow v^{4}=\operatorname {const} \Rightarrow v=\operatorname {const} \Rightarrow vU^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow v^{i}=\operatorname {const} \;$

(31.18)

Co (31.18) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli gęstości langrangianów (31.9) i (31.10) są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. Wniosek (31.18) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale ${\dot {x}}^{\mu }\;$ jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach $(t,t+dt)\;$ w przestrzeni Galileusza, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach płaskich ${\dot {x}}^{\mu }\;$ jest o wartości takiej samej dla dowolnego czasu $t\;$. Wnioski (31.16) i (31.17) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały wektor prędkości choćby lokalnie, więc dla (31.18), a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi $d\rho _{0}\neq 0\;$ i nie zachodzi (31.17), bo nie da się przejść z układu słabozakrzywionego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.

Stałość tensora prędkości dla układów płaskich (lokalnie płaskich) dla układów punktowych (rozciągłych), a układy zakrzywione

Ale zachodzi na podstawie (31.8) (układy punktowe) i (31.18) (układy rozciągłe) zgadzająca się z (15.26) (ogólny wniosek):

$d{\dot {x}}^{i}=0\;$

(31.19)

Jeśli zachodzi (31.19), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w przestrzeni Galileusza spełniającego (31.8) (układy punktowe) i (31.18) (układy rozciągłe) dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla $dx^{\nu }\;$ dowolnego, bo według (15.26) (ogólny wniosek), (31.8) (układy punktowe) i (31.18) (układy rozciągłe) ta stała w nich jest dowolnej wartości w układach co najwyżej lokalnie:

$0=d{v}^{i}={{\partial {v}^{i}} \over {\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }={{\dot {x}}^{i}}_{,\nu }dx^{\nu }\Rightarrow {{\dot {x}}^{i}}_{,\nu }=0\;$

(31.20)

Co się zgadza z wnioskiem (21.14) o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości. Co stąd zachodzi też (31.8) na podstawie (21.14) i (31.19), a także (31.20), co na tej podstawie mamy, że przestrzeń Galileusza jest zakrzywiona, a nie płaska, co stąd wynika, że przestrzeń Galileusza jest w ewentualnym przypadku słabozakrzywiona, co dotyczy też szczególnej teorii względności. Czyli w układach płaskich ciała poruszają się z prędkością stałą niezależną od czasu, a w układach lokalnie płaskich w nieskończenie małym przedziale czasu $(t,t+dt)\;$ też ze stałą prędkością, ale tak już nie jest w układach słabozakrzywionych, wtedy tam panuje szczególna teoria względności dla układów słabozakrzywionych, zatem za przyśpieszenie ciała odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku, zastępując we ostatnim wniosku w (31.20) (lub (21.14)) przecinek średnikiem i zamieniając ${\dot {x}}^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na $q^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do zakrzywionych zakładamy, że macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ może być funkcją uogólnioną, tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy:

${{\dot {q}}^{i}}_{;\nu }=0\Rightarrow {\ddot {q}}^{i}+{\Gamma ^{i}}_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=0\;$

(31.21)

Jeżeli zakrzywienie jest słabe, wtedy wielkość wskaźnikowa siły coś w rodzaju tensora siły jest tak naprawdę w przybliżeniu tensorem, bo (21.25), co wtedy spełniona jest cała dynamika Newtona według (31.21). Stąd dynamika Newtona jest teorią tylko przybliżoną opisującą przyrodę (układy w przybliżeniu płaskie, czyli układy słabozakrzywione, bo (22.9)) dla małych prędkości, a symbole Christoffera są w przybliżeniu tam tensorami, czyli mechanika Newtona jest spełniona dla układów słabozakrzywionych (dynamika), a według niej układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją, ale istnieją matematycznie, bo macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}\;$ (15.31) wtedy jest funkcją uogólnioną i wtedy symbole Christoffera są równe zero, a istnieją w ogólnej teorii względności, bo wtedy symbole Christoffera nie są tensorami.

Wnioski końcowe

Będziemy tutaj rozpatrywali dalsze wnioski z mechaniki Newtona.

Dla jakich przyśpieszeń tensora prędkości jest spełniona mechaniki Newtona i pewne tożsamości przybliżone w układach słabozakrzywionych

Do obliczeń tutaj będziemy wykorzystywać tożsamość przybliżoną dla układów słabozakrzywionych (22.9), (22.10) i (22.11).

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie jest funkcją uogólnioną

Wykorzystując (30.39) i tensorowość prędkości (22.1), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wiedząc, że pochodne cząstkowe tensora transformacji są w przybliżeniu równe zero:

${{d{\overline {v}}^{i}} \over {dt}}={{d\left({\dot {x}}^{j}{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}\right)} \over {ds}}={\dot {x}}^{j}{{d} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}+{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}{{d{\dot {x}}^{j}} \over {ds}}\simeq {{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}{{d{\dot {x}}^{j}} \over {ds}}=0\;$

(31.22)

Stąd mechanika Newtona jest spełniona dla małych przyśpieszeń . Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując spełnioną w układach globalnie (lokalnie) płaskich tożsamość tensorową (21.7) przechodząc z nich do układów słabozakrzywionych:

${{\overline {v}}^{i}}_{,\nu }=\left({{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}v^{j}\right)_{,\beta }{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }\simeq {v^{j}}_{,\beta }{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }=0\cdot {{\overline {\Lambda }}^{i}}_{j}{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }=0\;$

(31.23)

Policzmy wyrażenie tensorowe dla układów słabozakrzywionych przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich:

${{\partial {\overline {g}}^{ij}} \over {\partial x^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial {\overline {x}}^{\xi }}}\left(g^{kl}{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}{{\overline {\Lambda }}^{j}}_{l}\right){{\Lambda }^{\xi }}_{\alpha }\simeq {{\partial g^{kl}} \over {\partial x^{\xi }}}{{\overline {\Lambda }}^{i}}_{k}{{\overline {\Lambda }}^{j}}_{l}{{\Lambda }^{\xi }}_{\alpha }=0\;$

(31.24)

Widzimy, że w układach słabozakrzywionych (dla których jest spełniona mechanika Newtona ) pochodne cząstkowe tensora prędkości (31.23) i tensora metrycznego (31.24) względem tensora położenia w przestrzeni Galileusza są równe w przybliżeniu zero, a nie dokładnie .

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem płaskich (lokalnie płaskim) o stałym tensorze prędkości (lokalnie stałym wektorze prędkości) jest funkcją uogólnioną

Jeżeli macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną, to (31.22), (31.23) i (31.24) już nie zachodzą i te wyliczane wielkości w układach słabozakrzywionych mogą być dowolne, ale transformacje w mechanice Newtona z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych są funkcjami uogólnionymi, więc te związki już ogólnie nie zachodzą dla tego ostatniego układu.