Szczególna teoria względności/Podstawy teorii względności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Podstawy teorii względności

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Podstawy transformacji Galileusza i Lorentza[edytuj]

Prawa transformacyjne położenia ciała w czasoprzestrzeni z jednego układu współrzędnych do drugiego są:

(3.1)

gdzie:

  • położenie ciała w starym układzie współrzędnych:, a także wielkości primowane w stosunku do poprzedniego mamy w postaci: jako położenie ciała w nowym układzie współrzędnych,
  • jeśli potraktować czas jako zerową współrzędną w (n+1)-wymiarowej czasoprzestrzeni.

Różniczka zmiany położenia danego ciała w czasie, korzystając z definicji różniczki zupełnej z analizy matematycznej jest przedstawiona:

(3.2)

Załóżmy, że macierz występująca w (3.2) jest stałą o charakterze macierzowym, stąd dojdziemy, że ona opisuje układy płaskie (tensor Minkowskiego ) i inercjalne (). Ciało, które ma położenie w starym układzie współrzędnych w czasoprzestrzeni , po przesunięciu tego układu o wektor , wtedy to ciało ma położenie , co tą transformację możemy pisać:

(3.3)
  • gdzie jest pewną stałą wektorową, a wektor jest to położenie ciała w układzie przed przesunięciem, a po przesunięciu.

Jak zachodzi w starym układzie współrzędnych (3.3) (bez primów) to podobnie jest dla nowego układu współrzędnych (tylko, że z primami).

Możemy wykorzystać (3.3) bez primów i z primami do wzoru na nieskończenie małą zmianę położenia ciała w czasoprzestrzeni w nowym układzie współrzędnych względem jego starego wychodząc ze wzoru (3.2) dla pamiętając, że zachodzi i , stąd:

(3.4)

W układzie według teorii Einsteina wynika, że równanie (3.2) nie zależy od tego o jaki wektor przesuniemy stary i wektor nowy układ współrzędnych, postać transformacji (3.1) dla transformujące się do i transformujące się do jest z dokładnością do stałej wektorowej taka sama (bo ta pochodna dla dowolnego jest stałą w (3.2), dlatego że zachodzi (3.4) (końcowy wzór)), zatem przedostatni wzór w (3.4) opisuje to samo, co wzór (3.2), pamiętając o udowodnionej stałości pochodnej: , wtedy ta postać transformacji spełnia zasadę jednorodności przestrzeni i czasu, a transformacja ze starego układu współrzędnych do nowego przedstawia się:

Definicja Transformacje tensora położenia w czasoprzestrzeni płaskiej (Def.  3.1)
Transformacje współrzędnych ciała ze starego układu odniesienia do nowego w przestrzeni n-wymiarowej, pamiętając, że czas jest współrzędną, przedstawiają się n+1 wzorami:
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)

---------------------------------------------------------------------

(3.9)

Na podstawie wzoru (3.6), (3.7), (3.8) i (3.9) transformacja współrzędnych ze starego układu do nowego piszemy:

(3.10)
  • gdzie .

Wektor wodzący ciała odniesienia względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych z oczywistych powodów jest równa zero, zatem wzór (3.10) możemy napisać:

(3.11)

Jeśli we wzorze (3.11) wyznaczymy wielkość i podstawimy go do wzoru (3.10), wtedy dostajemy wzór na transformację położenia ciała w starym układzie odniesienia na nowy układ. Wiedząc jakie jest położenie w przestrzeni ciała odniesienia w starym układzie odniesienia i w tym układzie możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie odniesienia i wiedząc jakie jest położenie ciała w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej w starym układzie współrzędnych możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie współrzędnych znając położenie stałe nowego układu współrzędnych względem starego układu współrzędnych, wtedy:

(3.12)

Wzór (3.12) jest spełniony, gdy stary i nowy układ współrzędnych są układami ogólnie nieprostokątnymi, w którym dla czasoprzestrzeni mamy .

Tożsamość na część macierzy transformacji M na Mx0[edytuj]

Wyprowadźmy wzór na wielkość Mx0 zakładając stałość macierzy , wiemy jednak przecież, że prędkość ciała odniesienia, względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych jest napisana , i dalej zróżniczkujmy wzór (3.10) względem czasu w starym układzie współrzędnych i wyznaczmy z niego tą wspomnianą macierz:

(3.13)

Z końcowych rozważań (3.13) możemy napisać, że pierwszą kolumnę bez zerowego wiersza macierzy transformacji przedstawiamy:

 dla 
(3.14)